Python, NumPy, Statistics를 사용하여 Scipy에서 경험적 분포를 이론적 분포에 맞추는 방법
필요한 라이브러리 설치
본 프로세스를 진행하기 위해서는 다음 라이브러리가 설치되어 있어야 합니다:
- NumPy: 수치 계산을 위한 기본적인 Python 라이브러리입니다.
- SciPy: 통계, 수학, 최적화 알고리즘 등을 제공하는 Python 라이브러리입니다.
- Statistics: Python 기본 라이브러리에 포함된 통계 기능을 제공합니다.
만약 해당 라이브러리가 설치되어 있지 않다면 다음 명령어를 사용하여 설치할 수 있습니다.
pip install numpy scipy
데이터 준비
분석을 수행하기 위해 먼저 경험적 분포를 나타내는 데이터 세트를 준비해야 합니다. 이는 샘플링, 시뮬레이션 또는 실제 측정 데이터를 통해 얻을 수 있습니다. 데이터 세트는 NumPy 배열 형태로 저장되어야 합니다.
이론적 분포 선택
경험적 분포를 맞추고자 하는 이론적 분포를 선택해야 합니다. Scipy는 다양한 이론적 분포를 지원하며, 각 분포는 해당 분포의 매개 변수를 설정해야 합니다. 예를 들어, 정규 분포의 경우 평균과 표준 편차를 매개 변수로 설정해야 합니다.
분포 추정
Scipy의 scipy.stats 모듈에서 제공하는 다양한 함수를 사용하여 이론적 분포를 경험적 데이터에 맞출 수 있습니다. 대표적인 함수로는 다음과 같은 것들이 있습니다:
fit: 특정 분포에 대한 최적의 매개 변수를 추정합니다.rv_continuous: 특정 분포를 나타내는 연속 확률 변수 객체를 생성합니다.pdf: 특정 분포의 확률 밀도 함수를 계산합니다.
선택한 이론적 분포에 맞는 적절한 함수를 사용하여 경험적 데이터에 대한 분포 매개 변수를 추정하고, 추정된 매개 변수를 사용하여 이론적 분포의 확률 밀도 함수와 누적 분포 함수를 계산할 수 있습니다.
시각화
경험적 분포와 이론적 분포를 비교하기 위해 히스토그램, 산점도, QQ 플롯 등의 시각화 도구를 활용할 수 있습니다. 시각화를 통해 두 분포의 일치 정도를 확인하고, 이론적 분포가 경험적 데이터를 얼마나 잘 설명하는지 평가할 수 있습니다.
예시 코드
다음은 Python 코드 예시입니다. 이 코드에서는 샘플링된 데이터를 정규 분포에 맞추고, 시각화를 통해 두 분포를 비교합니다.
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
# 데이터 생성
data = np.random.randn(1000)
# 이론적 분포 추정
mu, sigma = stats.norm.fit(data)
# 확률 밀도 함수 계산
x = np.linspace(mu - 3 * sigma, mu + 3 * sigma, 1000)
pdf_theo = stats.norm.pdf(x, loc=mu, scale=sigma)
# 시각화
plt.hist(data, bins=20, alpha=0.5, label='경험적 분포')
plt.plot(x, pdf_theo, label='이론적 분포')
plt.xlabel('값')
plt.ylabel('밀도')
plt.legend()
plt.show()
본 코드는 기본적인 예시이며, 실제 상황에 따라 데이터, 이론적 분포, 시각화 도구 등을 선택하여 변경해야 할 수 있습니다.
- [Scipy documentation for fitting distributions](
예제 코드: 경험적 분포를 이론적 분포에 맞추고 시각화하기
라이브러리 설치 및 데이터 준비
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
# 데이터 생성
data = np.random.randn(1000) # 샘플링된 데이터 (정규 분포에서 추출)
이론적 분포 추정 및 확률 밀도 함수 계산
# 이론적 분포 추정 (정규 분포)
mu, sigma = stats.norm.fit(data)
# 이론적 분포의 확률 밀도 함수 계산
x = np.linspace(mu - 3 * sigma, mu + 3 * sigma, 1000)
pdf_theo = stats.norm.pdf(x, loc=mu, scale=sigma)
시각화
# 히스토그램 및 이론적 분포 PDF 플롯
plt.hist(data, bins=20, alpha=0.5, label='경험적 분포')
plt.plot(x, pdf_theo, label='이론적 분포')
plt.xlabel('값')
plt.ylabel('밀도')
plt.legend()
plt.show()
설명:
np.random.randn(1000): 표본 크기 1000개의 표본 데이터를 정규 분포에서 추출합니다.stats.norm.fit(data): 경험적 데이터에 대한 정규 분포의 평균(mu)과 표준 편차(sigma)를 추정합니다.stats.norm.pdf(x, loc=mu, scale=sigma): 추정된 mu와 sigma를 사용하여 이론적 분포의 확률 밀도 함수(pdf)를 계산합니다.plt.hist&plt.plot: 경험적 분포 히스토그램과 이론적 분포 PDF를 동일한 그래프에 표시합니다.
주의 사항:
- 다양한 이론적 분포에 대한
fit함수와pdf함수를 활용하여 다른 분포에도 적용할 수 있습니다.
추가 정보 및 활용
- 보다 정교한 시각화를 위해 Matplotlib 라이브러리의 다양한 기능을 활용할 수 있습니다.
- 본 예제 코드를 기반으로 실제 데이터에 맞는 분포 추정 및 시각화를 수행해 보세요.
경험적 분포를 이론적 분포에 맞추는 대체 방법
최대 우도 추정 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)
MLE는 경험적 데이터가 이론적 분포에서 발생할 가능성이 가장 높은 매개 변수를 찾는 방법입니다. Scipy의 scipy.optimize 모듈에서 제공하는 최적화 알고리즘을 사용하여 MLE를 수행할 수 있습니다.
장점:
- 간단하고 직관적인 방법입니다.
- 다양한 이론적 분포에 적용 가능합니다.
단점:
- 특정 분포에 따라 계산이 복잡할 수 있습니다.
- 국부 최대값에 빠질 가능성이 있습니다.
최소 제곱 오차 (Least Squares Error)
최소 제곱 오차는 경험적 데이터와 이론적 분포의 누적 분포 함수(CDF) 간의 차이의 제곱을 최소화하는 매개 변수를 찾는 방법입니다.
- 계산이 비교적 간단합니다.
- 모든 이론적 분포에 적용 가능한 것은 아닙니다.
- 꼬리가 있는 분포에는 적합하지 않을 수 있습니다.
모멘트 매칭 (Moment Matching)
모멘트 매칭은 경험적 분포의 모멘트와 이론적 분포의 모멘트를 일치시키는 매개 변수를 찾는 방법입니다.
- 꼬리가 있는 분포에도 적용 가능합니다.
- 특정 분포에 따라 정확한 매칭이 어려울 수 있습니다.
분포 퍼팅 (Distribution Fitting)
분포 퍼팅은 경험적 데이터와 이론적 분포의 거리를 최소화하는 매개 변수를 찾는 방법입니다. 컬백 함수를 사용하여 다양한 거리 측정 방법을 정의할 수 있습니다.
- 다양한 거리 측정 방법을 사용하여 맞춤형 분포 선택이 가능합니다.
- 계산이 복잡할 수 있습니다.
- 적절한 거리 측정 방법을 선택하는 것이 중요합니다.
선택 가이드:
- 데이터 양이 충분하고 계산 성능이 중요하지 않다면 MLE 또는 최소 제곱 오차를 사용하는 것이 좋습니다.
- 꼬리가 있는 분포를 다루거나 정확한 매칭이 필요한 경우 모멘트 매칭을 사용하는 것이 좋습니다.
- 다양한 거리 측정 방법을 비교하고 싶거나 맞춤형 분포를 선택해야 하는 경우 분포 퍼팅을 사용하는 것이 좋습니다.
참고:
- 위에 언급된 방법들은 각각 장단점이 있으며, 상황에 따라 적절한 방법을 선택해야 합니다.
- Scipy 외에도 다양한 통계 라이브러리가 경험적 분포 추정 기능을 제공합니다.
- 특정 분포에 대한 최적의 방법은 관련 문헌이나 전문가의 조언을 참고하는 것이 좋습니다.
추가 정보
python numpy statistics
